一道数学题

f（x）为偶函数且二阶可导，f''(0)不等于0，则x=0
一定是函数的极值点，
为什么，求解释，不要等值方法

推荐答案 2011-08-17

题目没错啊。
（1）作为可导的偶函数，本身就有f''(0)=0；
证明：f（x）=f（-x）；两边求导，得f'(x）=-f'(x）；取x=0，则f'(0)=0。
（2）函数二阶可导，所以存在一阶导函数，又f''(0)不等于0，所以在0左边附近和0右边附近的导数是异号的，这样，x=0一定是函数的极值点。
其实，说清楚（1），（2）根据极值的第二充分条件，直接就ok了！！！
嘿嘿

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其他回答

第1个回答 2011-08-17

题目本身就是错的应该加条件 f'(0)等于0
原因如下
一阶导数等于零只能说可能是极值点，因为可能是常数函数或者其他函数的拐点
而如果二阶导数不等于零，则他的图像不是上凹就是下凹，如果上凹即f''(0)大于0 就是极小值点反之极大值点，我喜欢结合图形讨论，

但是如果在试卷做答，需要有表达式来推理，可惜数学公式好难写，如果你一定要就打电话给我！

第2个回答 2011-08-17

只要证明f'(0)=0就行了，f'(0)是(f(x)-f(0))/x的极限，也是(f(0)-f(-x))/(-x)的极限，由于是偶函数，所以二者是相反数，其极限相等，所以极限必定为0.

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