已知a b c均为正实数且ab+ac+bc=1,求证：(a+b+c)的平方大于等于3

Question

如题所述

Answer 1

证明：
(a+b+c)²
=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
=a²+b²+c²+2
=1/2(a²+b²)+1/2(a²+c²)+1/2(b²+c²)+2
≥ab+ac+bc+2
=1+2
=3，
仅当a=b=c=√3/3时，等号成立。
O(∩_∩)O~

Answer 2

先扩大两倍2(a+b+c)²=2a²+2b²+2c²+4(ab+ac+bc)=(a²+b²)+(a²+c²)+(b²+c²)+4(ab+ac+bc)
≥2ab+2ac+2bc+4(ab+ac+bc)
≥6 所以(a+b+c)²≥3

Answer 3

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=a²+b²+c²+2
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
a²+b²+b²+c²+a²+c²≥2ab+2bc+2ac
即：2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ac)
所以2（a²+b²+c²）≥2,即 a²+b²+c²≥1
所以a²+b²+c²+2≥3
所以(a+b+c)²≥3
所以(a+b+c)的平方大于等于3

Answer 4

证明：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
∵a b c均为正实数且ab+ac+bc=1
∴a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac
即a²+b²+c²=½（a²+b²+b²+c²+a²+c²）≥½（2ab+2bc+2ac）=ab+bc+ac
所以上式=a²+b²+c²+2≥ab+bc+ac+2=1+2=3
即(a+b+c)的平方大于等于3