两个相互独立随机变量乘积的期望等于这两个随机变量期望的乘积. 离散情况下怎么证明？

Question

连续情况下因为概率密度可以写出来f(x,y)=f(x)f(y)，直接按公式写出来即可，但是离散情况下这个怎么弄？

Answer 1

如果这三个随机变量互相是独立的，你这个式子才成立。你先考虑两个独立变量的情况，E（A*B）=COV（A，B）+E（A）*E（B）。

因为独立，所以协方差COV（A，B）=0，所以E（A*B）=E（A）*E（B）。再把两个变量的情况推广到三个，就能得出E（A*B*C）=E（A）*E（B）*E（C）。

扩展资料：

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。

因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；

而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。

可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

参考资料来源：百度百科-数学期望

Answer 2

只要把积分的过程改成求和就可以证明了，如图。请采纳，谢谢！

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