f(x0)的n阶导数存在是否可以推出在x=x0的邻域内f(x)可导;
f(x0)的n阶导数存在可以推出f(x)的n-1阶导数在x=x0的邻域内连续,那么是否可以推出f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内连续;
当x趋向于x0时,计算可得f'(x)的极限为k,是否可以说f'(x0)=k;
高数学得不好,请大虾们帮我解决这三个问题,不胜感激!!!
第一个是:f(x0)的n阶导数存在是否可以推出在x=x0的邻域内f(x)n阶可导;
由函数f(x)在x0点的n阶导数存在,不能得到f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内其他点是否存在,更不能得到n阶导函数的连续性--------这个好难想象,f(x0)的n阶导数存在的话(设为k),其左右极限都是趋向于k的,在x0处一个极小的范围内f(x)的n阶导数不都是趋向于k的吗,随便取一个点的导数不是都有吗?还有关于连续性,若n=1的话能帮我举一个f'(x0)存在,但f'(x)在x0不连续的例子吗?
追答所以高等数学有很多都是,可能从直观得到错误的结论,尤其是这类的选择或者判断。
分段函数 f(x)= x^2 six(1/x) ,x≠0; f(x)=0,x=0
f ' (x)= 2x six(1/x) -cos(1/x),x≠0; 按照定义求得 f ' (0)=0,x=0
在x=0,f '(x)的极限不存在,故不连续。