使用洛必达法则求函数导数的问题。

Question

f(x)在x=0处三阶可导，lim(x趋于0)f'(x)/x²=1，可以导出结论:lim(x趋于0)f'(x)=0，f''(x)=0，f'''(x)=2。这样的结论对吗？

Answer 1

正确

f(x)在x=0处三阶可导，则在该处f(x)，f'(x)，f''(x)，f'''(x)均连续。limf(x)=f(0)，limf'(x)=f'(0)，limf''(x)=f''(0)，limf'''(x)=f'''(0)。为简明极限符号下的(x趋于0)均不写明，以下同。

由limf'(x)/x²=1，知f'(0)=limf'(x)=0，

limf''(x)=f''(0)=lim[f'(x)-f‘(0)]/x=lim f'(x)/x=lim x^2/x=0

limf'''(x)=f'''(0)=lim[f''(x)-f‘'(0)]/x=lim f''(x)/x=lim f'(x)/0.5x^2=2

如有不明欢迎追问。