一道大学概率论与数理论统计的问题 想问一下我的做法哪里错了？正确做法应该是什么样的 希望有步骤和

Question

一道大学概率论与数理论统计的问题 想问一下我的做法哪里错了？正确做法应该是什么样的 希望有步骤和解析 谢谢帮助

Answer 1

首先你那个arcsiny,即x，不能违背题目给你设定的取值范围，明确规定了0<x<π，不可以随便乱改

这还不是最关键的

fy(y)=(dx/dy)fx(x(y))这个方法这里不能直接用

因为只有Y=g(X)是1 to 1 的函数关系，才能直接这麼换

Y=sinX, 0<x<π,这里函数是两个对称的x映射一个y,不是one to one 的映射关系
(sin0=sinπ，sint=sin(π-t)(0<t<π))

把0<x<π这里分成0<x<π/2 和π/2<x<0两部份做

dy=cosxdx
dx/dy=1/cosx

0<x<π/2时
dx/dy=1/cosx=1/根号(1-y²)

0<x<π时，cosx<0
dx/dy=-1/根号(1-y²) 这里大概明白为什麽一定要1 to 1了吧

像下面这样做
Fy(y)=
P(sinX<=y)=P(X<=arcsiny)+P(X>=π-arcsiny) (2 to 1的函数各种tricky,明白了吧)
=(arcsiny/π)²+1-((π-arcsiny)/π)²
=(2πarcsiny-π²)/π²+1
=2arcsiny/π

fy(y)=F'y(y)= 4/((1-y²)^0.5*π²) (0<y<1) 注意分母不能为0

y=1时，x=π/2， 密度=2(π/2)/π²=1/π
fy(y)=1/π (y=1)

fy(y)=4/((1-y²)^0.5*π²) (0<y<1)
=1/π (y=1)追问

可是为什么标准答案是这个

追答

我最後一步求导求得不对。答案是对的

=2arcsiny/π

fy(y)=F'y(y)= 4/((1-y²)^0.5*π²) (0<y<1) 注意分母不能为0

这里应该是2而不是4
不好意思让你confuse了

追问

你好 请问这题你会做吗

追答

函数Z=min(X,Y)的等高线，是沿著y=x一条线，一直画平行直角(x<y时=x,x>y时=y,很好理解)

这里均匀分布不需要求积分也能算累计概率

P(Z<3/2)如下阴影所示，正方区是以(1,1)(2,3)分别为左下，右上顶点的矩形取

矩形面积=2

黑影面积=2-(0.5)(1.5)=2-3/4=5/4

P(Z<3/2)=(5/4)/2=5/8

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