实数集合R上定义运算：x*y=xy-2x-2y+6

Question

实数集合R上定义运算：x*y=xy-2x-2y+6 （1）求*运算的幺元和零元 （2）对任何实数x求其逆元 (3)证明*满足交换性和结合性

Answer 1

对于任意给定的实数x,若总有，
x
=
x*y
=
xy
-
2x
-
2y
+
6,
则，y为*运算的幺元。
0
=
xy
-
3x
-
2y
+
6
=
x(y-3)
-
2(y-3)
=
(y-3)(x-2),
y
=
3,
3
是*运算的幺元。
对于任意给定的实数x,若总有，
0
=
x*y
=
xy
-
2x
-
2y
+
6,
则，y为*运算的零元。
0
=
xy
-
2x
-
2y
+
6
=
x(y-2)
-
2(y-3),
要使得上式恒成立，只能y=2且
y=3.
矛盾。
因此，*运算不存在零元。
对于任意给定的实数x,若总有，
1
=
x*y
=
xy
-
2x
-
2y
+
6,
则，y为x的逆元。
0
=
xy
-
2x
-
2y
+
5
=
y(x-2)
+
(5-2x),
x=2时，0
=
1，矛盾。
因此，x不为2.
x不为2时，
y
=
(2x-5)/(x-2)为x的逆元。
x=2不存在逆元。
x*y
=
xy
-
2x
-
2y
+
6,
y*x
=
xy
-
2x
-
2y
+
6
=
x*y,
*满足交换性。
x*(y+z)
=
x(y+z)
-
2x
-
2(y+z)
+
6,
x*y
+
x*z
=
xy
-
2x
-
2y
+
6
+
xz
-
2x
-
2z
+
6
=
x(y+z)
-
2x
-
2(y+z)
+
6
+
[6
-
2x]
*不满足结合性。