你好，问一个高等数学的问题，函数在某点三阶可导，能说明什么？三阶导数连续还是二阶导数连续？谢谢你们

Question

如题所述

Answer 1

是这样的y=f(x)可导,则f(x)必然连续.
但f'(x)不一定连续.
比如我们f(x)可以定义如下：
f(x)=0
若
x=0
f(x)=x²sin(1/x)
若
x≠0
这个函数是可导的
这是因为在x≠0,可导显然
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
x=0处有,x→0
f'(0)
=
lim
(x²sin(1/x)-0)/(x-0)
=lim
xsin(1/x)=0
(无穷小乘有界量极限为0)
所以有
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
若
x=0
f'(x)=0
若
x≠0
f'(x)是不连续的,因为x→0时,lim
f'(x)不存在.
再令f(x)
=
∫f(t)dt
(积分区间为0到x)
可以得到f''(x)=f(x),f二阶可导,但二阶导数不连续