如何证明二元函数的可微性

Question

如题所述

Answer 1

证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0, 

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)

=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] 

=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y 

=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y 

=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 

而||≤|α|+|β|, 

所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),

即f(x,y)在点M可微。

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。

可微条件

1、必要条件

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

扩展资料

函数可导的条件：

函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

一元函数：可导必然连续,连续推不出可导,可导与可微等价。

多元函数：可偏导与连续之间没有联系,也就是说可偏导推不出连续,连续推不出可偏导。

多元函数中可微必可偏导,可微必连续,可偏导推不出可微,但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。

Answer 2

判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。
首先,对于以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微.
对于多元函数：偏导数存在不一定可微,可微一定存在偏导.（还有,偏导数存在时函数不一定连续）
二元函数,可微的充要条件是
z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且
{Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0)
其中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离,那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2

Answer 3

证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：1、若z=f(x,y)在点m(x,y)的某一邻域内存在偏导数f，且它们在点m处连续,则z=f(x,y)在点m可微。2、证明:由于偏导数在点m(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)。=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]。=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y。=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y。=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y。而||≤|α|+|β|,所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点m可微。

Answer 4

还是从定义出发，用极限概念推导可微。证明二元函数在定义域内是连续的。连续是函数可微前提，连续不一定可微，但是可微一定连续。

Answer 5

关于两个变量的偏导数连续，则该二元函数可微

天杨说的很对，但是证明二元函数可微没有充分必要条件，我给的就是个充分条件，可以用这个思路去证明可微性。如果属于不连续可微，就只能用定义证明了，看是那种情况吧