证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．

Question

如题所述

Answer 1

设三角形为ABC重心为G三条中线为AD,BE,CF
则向量AD=1/2(向量AB+向量AC)
向量BE=1/2(向量BA+向量BC)
向量CF=1/2(向量CA+向量CB)
所以向量AD+向量BE+向量CF=0
同理向量GD+向量GE+向量GF=0
因为向量AG+向量BG+向量CG+向量GD+向量GE+向量GF=向量AD+向量BE+向量CF
所以向量AG+向量BG+向量CG=0
所以向量AG=向量GB+向量GC=2向量GD
所以重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1
……为什么样用向量呢

Answer 2

例3
证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．
已知：△abc中，ax，by，cz分别是bc，ac，ab边上的中线，求证：ax，by，cz相交于一点g，并且ag∶gx=2∶1(图3－112)．
证
设ax，by交于一点g，作ag，bg中点d，e．
y分别是bc，ac的中点，所以xyde，所以，四边形dexy为平行四边形，所以
gd=da=gx，gy=ge=eb，
所以
ag∶gx=2∶1，bg∶gy=2∶1．
同理，若by与cz相交于一点g′，必有
bg′∶g′y=2∶1，g′c∶g′z′=2∶1，
所以g′与g重合．所以三角形三条中线相交于一点．