第二类曲面积分：∫∫(S)x^2zdxdy

Question

∫∫(S)x^2zdxdy,其中S为球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧

Answer 1

利用对称性，原式=0

注：这里先要注意一点：

第一类 曲线/曲面 积分 具有 偶倍奇零 性质

第二类 曲线/曲面 积分 具有 偶零奇倍 性质

所以这两类的 奇偶性 是相反的，因为第二类积分涉及方向性的问题

Answer 2

补充平面 S1： z = 0 ( x^2+y^2 ≤ R^2)， 取上侧，S, S1 围成半球 Ω。
则 I = ∫∫<S>x^2zdxdy = ∯<S+S1>x^2zdxdy - ∫∫<S1>x^2zdxdy
前者用高斯公式，后者 z = 0，
I = ∫∫∫<Ω>x^2dxdydz + 0
= ∫<π/2，π>dφ∫<0, 2π>dθ∫<0, R> r^2(sinφ)^2(cosθ)^2·r^2sinφdr
= ∫<π/2，π>(sinφ)^3dφ∫<0, 2π>(cosθ)^2dθ∫<0, R> r^4dr
= (R^5/10)∫<π/2，π>[1-(cosφ)^2]dcosφ∫<0, 2π>(1+cos2θ)dθ
= (R^5/10)[cosφ - (1/3)(cosφ)^3]<π/2，π>[θ+(1/2)sin2θ]<0, 2π>
= (R^5/10)(-1+1/3)2π = -2πR^5/15本回答被提问者采纳