欧拉公式怎么推导？

Question

如题所述

Answer 1

欧拉公式不是推导出来的，欧拉公式就是一个定义式！如下：
在复变函数中，设z是一个作为宗量（也就是自变量）的复数，则z=x+iy。则定义w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。请注意上式的几个等号的含义：第二个等号定义了有e^z这种形式的复变函数（具体是什么对应法则不清楚，只是告诉你有这么样的一个函数）；第三个等号不是新的定义，是等价替换；第四个等号是一个新的定义，定义了这个函数满足一个新的运算法则（指数之和可以拆分成两项之积，类似于实数）；第五个等号定义了欧拉公式，告诉你e^iy具体的对应法则！（这里可能有点不好理解，因为e^z是一个复变函数，那么e^z肯定是一个复数，那么它肯定也能用X+iY这样的形式表达出来，第五个等号就是给出了函数的对应法则！）
所以严格来说欧拉公式不是推导出来的，只是一个定义式！只不过当时没有直接定义，而是根据类比实数得出来的，然后才有了严格的定义。网上有好多人问欧拉公式怎么证明，其实这显示出了他们逻辑的混乱，没有正确区分类比演义，定义，定理，证明四者的关系。刚开始并没有欧拉公式这个严格的定义，最初的欧拉公式是人们通过类比实数得出的演绎结果罢了，然后才有了欧拉公式严格的定义。

Answer 2

欧拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的证明： 因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=??i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0.本回答被网友采纳

Answer 3

变分导数？