数学归纳法“n=k时成立”是“n=k+1时成立”的充分条件还是充要条件？

Question

我觉得貌似所有数学归纳法由“n=k时成立”到“n=k+1时成立”都是一步一步推过去的，也可以倒退回来。也就是说那是充要条件，不只是充分条件。只要证明了“n=k时成立”时“n=k+1也成立”，那么第一步证明n=任何一个范围内的数都可以证明等式。
比如：先证n=7时成立，然后证明“n=k时成立”的话“n=k+1时也成立”，那么就可以证明n（正整数）时都成立，第一步不一定写n=1。。。
好难描述啊，你们听懂了吗？核心问题就是
数学归纳法“n=k时成立”是“n=k+1时成立”的充分条件还是充要条件？

Answer 1

n=k时成立去证明n=k+1时也成立
当然“n=k时成立”是“n=k+1时成立”的充分条件

另外，你的表述中，
如果 n=7成立，然后证明“n=k时成立”的话“n=k+1时也成立”，
只能说n≥7 时，命题成立，
其他的n值是否成立，从证明过程中判读不出来追问

不能从n=k+1推回到n=k吗？我觉得可以倒推回去啊

追答

当然不行的，
这个跟原命题成立，逆命题不一定成立一样的

Answer 2

本身设定K就是一个未知数 好像X 和X-1 一样 x=7 x-1=6 当x=8 时 x-1=7
他们是一模一样的
充要条件

Answer 3

关系到判定命题的范围吧，如果在无穷大的范围内就是充要条件，其他都是充分条件。一般我们在证明时基本上都是在正整数的范围内所以从n=k时成立”到“n=k+1时成立，使用的是充分条件。如果证明负整数的话，就从“n=k+1时成立到n=k时成立。追问

就是说只要不考虑范围因素就是充要条件吧。
换句话说，就是只要证明了n=2成立，n=k时n=k+1成立，那么2之前的实际也成立对吧

追答

不是啊 看你的n是什么范围，k又是什么范围，不是你换句话说的那样。如果n从2开始，且k>=2，并且n=k，成立，可以推导出n=k+1成立

Answer 4

n=1成立，假设n=k成立，证明了n=k+1成立，所以n=2、n=3、n=4.....成立
如果你假设n=k+1成立，证明n=k成立，那你n取多少呢？
所以n=k和n=k+1成立根本就不存在什么条件的问题
这要你假设了。另外一个就可以推断出来

Answer 5

充分条件

Answer 6

个人认为数学归纳主要适用于猜想的证明，
等于是把所有的情况都归纳出来，从而得到对元、原猜想的判断。
例如
数列，an=n; (即a1=1,a2=2,a3=3.......);
求an的前n项和sn；
现在我假设sn的表达式是sn=n^2;
首先看第一项是否满足（这一步是必须要做的，对于更复杂的证明需要列出总体归纳的第一步，可能会有多次列举但都视为第一步）

s1=a1=1；成立
sn+1=sn+an+1；
=n^2+n+1;
但是我们的猜想sn+1应该是(n+1)^2
即sn+1=n^2+2n+1
与实际结果矛盾，所以我们的猜想不成立
如果我们猜想sn=(1+n)n/2
那么s1=1;
sn+1=sn+an+1;
=(1+n)n/2+n+1
=(n+1)(n+2)/2
我们猜想的公式为((n+1)+1)(n+1)/2
于是猜想成立