解析几何问题

Question

已知两点A(4,1),B(0,4)，在直线l：3x-y-1=0上寻找一点P,使得|PA|-|PB|最大，求P点。
没有图。。。图不是很复杂，劳驾亲自画一下~~~用几何法的要详细说明所用定理，用代数法的不必太麻烦，在|PA|-|PB|的表达式的化简上说说就可以了
1F MMP废话的就不要浪费精力了，日，我把问题关了也不会把分给你的
2F 正解，可是我就是不明白，明说了吧，学海导航上的，你的答案就是标准答案，请解释一下下
3F 请看清楚问题哦~~谢谢

Answer 1

直线l：3x-y-1=0，斜率为3
因此过A点与直线l垂直的直线斜率为-1/3, 直线方程为y-1=(-1/3)*(x-4)
求出交点坐标(1, 2)
所以点A关于直线l的对称点A'的坐标为(1*2-4, 2*2-1)，即(-2, 3)

因为A与A'关于直线l对称，所以直线l上的任意一点P与A、A'的连线长度相等，即|PA|=|PA'|
要求|PA|-|PB|的最大值，即是求|PA'|-|PB|的最大值。
假设在l上有一点P那么P、A'、B构成的三角形存在这样的三边关系：|PA'|-|PB|<|A'B|，而其中|A'B|是定值。
所以当P、A'、B不能构成三角形，即P、A'、B共线时，|PA'|-|PB|有最大值，此时|PA'|-|PB|=|A'B|（定值）
由A'(-2, 3)，B(0, 4)写出直线方程：y=(1/2)x+4
与直线l的交点为：(2, 5)
所以当P点坐标为(2, 5)时，|PA|-|PB|有最大值√5

Answer 2

我给你解释吧
首先，3F的答案是错的，他没看清楚题目
方法有2种：其实是一样的道理。楼主还是有点基础的，在此做一点提示，希望对你有点帮助
角形有：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边
这里我们用到：任意两边差小于第三边
草图自己画吧，很简单，直线我们叫它为L，做A点关于直线L的对称点A1，这个时候，直线L上的点到A点的距离和到A1的距离是一样的，所以题目可以看为
|PA|-|PB|的最大直，就是|PA1|-|PB|的最大直
当PA1B构成三角形时，则任意两边差小于第三边
所以|PA1|-|PB|<AB ，当PA1B不够成三角形时，则PA1-PB=A1B ，这个时候，这个值是最大的，所以延长A1B，与L的交点就是P点
同样道理，如果做B关于L的对称点，也可以得到一样的P点
最后祝你学习进步（都是自己打的，有点累）

Answer 3

解：A B在同侧且A离直线远时
当PAB构成三角形时，则任意两边和大于第三边
所以AB+PB>PA
所以PA－PB<AB
当PAB不够成三角形时，则PA-PB=AB
此时P即直线AB和直线l的交点即P

需要判断A点 和 B点相对直线的位置。A和B不在同侧时要做A或者B关于直线的对称点，同时这个题还要求A必须离直线远，否则也无解。

直接用代数法也可，设P（x，3x－1），点到点距离公式直接得到PA PB，两边平方化简可以得到|PA－PB|的最大值。本回答被提问者采纳

Answer 4

解：
要使得|PA|-|PB|最大，因为判断点AB分在直线两侧，则连接B与A的对称点A'交直线L于一点，这点就是所求的P点

设A点关于直线L的对称点为A'(x1,y1)，则它们的中点在直线上，代入直线方程
3(4+x1)/2-(1+y1)/2-1=0…………（1）
AA'连线垂直于直线L，那么它的斜率k为-1/3
(y1-1)/(x1-4)=-1/3…………（2）

(1)(2)联立得
x1=-2,y1=3
即A'坐标为（-2，3）

设直线A'B与L的交点P为(x,3x-1),
则BA'P三点共线

得（3-4)/(-2-0)=(3x-1-4)/(x-0)
解得
x=2

所以P点坐标为（2，5)

Answer 5

过AB的直线 y=-3/4x+4
与直线I的交点就是P
P(4/3,3)