一道高数证明题，求解答

Question

设函数f(x)=(x-1)φ(x),且φ(x)在区间[1,2]上二阶可导，φ(1)=φ(2)=0,求证在(1,2)内至少存在一点ξ,使f″(ξ)=0.

Answer 1

f'(x)=φ(x)+(x-1)φ'(x)
由于φ(1)=φ(2)=0, 故f(1)=f(2)=0, 由罗尔定理知存在c∈(1,2)使得f'(c)=0
而f'(1)=φ(1)=0, 再由罗尔定理存在ξ∈(1,c)使得f''(ξ)=0, 当然ξ∈(1,2)

Answer 2

如图