急急急啊，关于微积分里面的原函数实在是不懂啊

Question

看到这段：
设f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和——x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数

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那就是说，原函数表示的是不定积分。用几何意义表示是面积

而对这个不定积分求导得到导数，导数的几何意义是斜率

根据公式

f(x)dx = dF(x)

但是我不明白啊

面积 乘以 斜率 怎么会等于面积呢？

谁能通俗地给我讲讲呢

最重要的是用几何意义讲
让我明白 谢谢

Answer 1

严格来说原函数并不是面积，两者是分别定义的。联系原函数和面积这两个概念的是牛顿莱布尼茨公式。原函数本身的定义就是若F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。当然我说的比较通俗。
非要用“几何意义”的话：面积是定积分，定积分的定义方式是把x轴切成一小段一小段的小区间，每段上的f(x)当中随便取一个值，比如在[a,b]这个区间上的f(x)，我可以就取f(a)，然后把f(a)乘上这个小区间的长度，这样就得到一个小长条的面积，然后我把这些小长条的面积加起来，那当然还是面积。但是注意，定积分是不能求导的（因为事实上定积分就是一个数而已），当然你可以对变上限积分的那个变元求导。变上限就相当于积分区间是[a,x]，求导的时候事实上是f(y)(x-x_0)/(x-x_0)取极限，这个y在[x_0,x]里面。建议这里别去想什么斜率了，这个是很生硬的联系，没有什么意义。如果你实在要这么想，这里也应该是“面积的变化率”。

Answer 2

原函数就是不定积分，之所以叫不定，是因为他的上限和下线都是变化的，对原函数微分就是把整个面积无限分割，这就是微分法，把无数个小面积加起来就是无限求和，这就是积分法，分割-近似-求和-取极限，这是定积分定义的精髓，f(x)是长方形的高，dx是长方形的底，f(x)dx 就是矩形的面积，这只是定积分求面积法中的矩形法，还有梯形法，抛物线法，又称为辛卜(普)森法，当然，结果都是一样的，这只是传统意义上的黎曼积分，还有以测度引出的勒贝格积分，不定积分因为没有指定积分上限和下限，因而面积是不确定的，因为常数的倒数为零，因而要加上一个常数大C

参考资料：卧虎藏龙

Answer 3

你似乎对导数就是斜率这个几何意义很坚持，实际上导数是指代 变化率
对于直线，变化率就是指斜率，斜率越大，直线就越陡峭；------可以用速度加速度帮助理解
定积分实际上可以理解为曲线沿坐标轴的求和(∫→∑)；
所以F(x) =∫fdx = ∑， 面积的变化率dF(x)/dx = f(x)
就是说，直线的变化率就是常数，面积的变化率应该为曲线，同样，体积的变化率应该为曲面。
估计维度上的增减概念超过你的目前知识体系，不再论及。追问

所以F(x) =∫fdx = ∑，

这能具体讲讲吗？

Answer 4

谁说的f(x)dx是“面积 乘以 斜率”
f(x)是高度，dx微元可以看做是宽度，只是很小而已，所以f(x)dx是“高度 乘以 宽度”，是一个宽度很小的长方形微元面积，即dF(x)，对此微元累加即积分追问

稍微有点理解了

但是还有点迷糊

哥你能讲解得再深入细致 通俗点吗？

dF(x)指的是微小的面积，还是已经累积后的面积（即积分）？

追答

我觉得我讲得够通俗了，与其你在这里纠结还不如你随便找一本高等数学，上面积分的讲解肯定有我说的这个图形，你一看就明白了

dF(x)指的是长条微元面积，对这些微元面积进行累加的面积即积分∫dF(x)

dF(x)长条微元面积也可以理解为一条线段，无数条相邻的线段累加即构成一个面积

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