急！一道大学数学题！我只有一步不会！！！求解释！给加分++！谢谢了！！

Question

题在图片上，大家不用算出来这道题，我只有一步不会，就是

这一步是怎么求出来的呢？求出来的结果为什么是个对角矩阵呢？麻烦讲一下，最好有步骤！谢谢！（如果步骤打字很麻烦，手写下来拍照上传也可以）

下面的图片是整个原题：(哪里看不清请告诉我)

还有一个小问题就是定理5.4.3
T的T次方是指什么意思呢？
我怕图片的题大家看不清，所以又上传了放大版的

Answer 1

要想完全弄懂这道题或这个理论，要涉及到很多知识，特别是前面讲的如何把一个矩阵对角化的理论。只不过现在是实对称矩阵（一个特别的矩阵），只要应用前面的结论（或推理）就行了。
线性代数（或高等代数）里很多知识都是互相有联系的，不能孤立的看待。

前面肯定有这样一个定理（或结论）：若矩阵A（比如三阶）有3个不共线的特征向量，则矩阵A一定可以对角化，且对角线上的元素为A的特征值。 （书上肯定有推理的，而且推理也是很简单的）

下面简单的推理下：
A*T=A*（Z1,Z2,Z3）=(A*Z1,A*Z2,Z*Z3)=(m1*Z1,m2*Z2,m3*Z3)=M*(Z1,Z2,Z3)=MT
所以 T‘AT=T’*mT=MT'T=M
其中 m1、m2、m3是对应的特征值，M是以m1、m2、m3为对角元素的对角矩阵
这里涉及到一个结论：对角矩阵满足乘法交换律。

记得点赞加分哦，哈哈！！！追问

你好，我还有些地方不太懂，麻烦请解释一下：
1. 若矩阵A（比如三阶）有3个不共线的特征向量(如果这三个特征向量数值都相等，比如都为1)，那么矩阵A还可以满足对角化么？
2.图片上的定理5.4.3公式的中间T的T次乘以A乘以T，这个公式里的T次指的是转置的意思呢还是T次方的意思呢？
麻烦讲一下，谢谢了！

追答

1、特征向量不是数，不可能为1；
特征向量不共线，不可能相等。
有三个不共线的特征向量，一定可以对角化。

2、T放在幂的位置就表示转置。
因为是实对称矩阵，所以矩阵T为正交矩阵，其转置等于它的逆。

追问

谢谢你！

Answer 2

1，1，4就是你前面求出来的特征值