已知函数f(x)=ax-1/ax+1(a>1). (1) 判断函数f(x)的奇偶性； （2）求 f(x)的值域. （3）证明f(x)在（-∞，+

Question

已知函数f(x)=ax-1/ax+1(a>1).
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
（2）求 f(x)的值域.
（3）证明f(x)在（-∞，+∞） 上是增函数。

Answer 1

f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a>1).

(1)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)
=-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.

(2)求f(x)的值域.
因为0<a^x<+∞,所以
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).

(3)当a>1时
设x1,x2是(-∞,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=( a^x1-1)/(1+a^x1)-( a^x2-1)/(1+a^x2)
=[(a^x1-1)(1+a^x2)-( a^x2-1)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x1-a^x2)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0,
所以,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.

Answer 2

)设x1>x2, 所以f(x1)-f(x2) =[1-2/(a^x1+1)]-[1-2/(a^x2+1)] =2(a^x1-a^x2)/[(a^x1+1)(a^x2+1)], 当a>1时，因为x1>x2, 所以a^x1-a^x2>0, 所以f(x1)-f(x2)>0, 所以此时f(x)在R上是递增的

)当a>1时设x1,x2是(-∞,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是f(x1)-f(x2)=( a^x1-1)/(1+a^x1)-( a^x2-1)/(1+a^x2)=[(a^x1-1)(1+a^x2)-( a^x2-1)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]=2(a^x1-a^x2)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0,所以,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.

我也很想知道π_π明明是一题，最后结论也一样。但过程为毛看不懂阿……