从抽象一点的角度看，行列式det本质是一个定义域为n阶方阵的函数，并且满足如下三个条件：（请注意，n阶方阵可以看作n个n维的列向量）
(1). 列线性。即此函数关于列向量是线性的。
(2). 反对称。即此函数关于列向量反对称，也就是说交换相邻两列，det变为相反数。
(3). det(I)=1.
可以证明，满足这三个条件的函数是存在且唯一的，就是行列式函数。这个可以作为行列式的定义，虽然有点抽象，但这种观点较高，反映了更深的本质。另外，定义中的"列"都换成"行“也是可以的~~
行列式的直观意义其实很明显。把n阶方阵看作n个n维的向量（列或行均可），它的行列式刻画了这n个向量”张成“的平行多面体的”n维有向体积". 它的一个推论就是：一方阵满秩当且仅当其行列式非0.
以n=2或3为例，当n=2时，2阶方阵的行列式就相当于它的2个列向量（或行向量）张成的平行四边形的有向面积。而当n=3时，3阶方阵的行列式就相当于它的3个列向量（或行向量）张成的平行六面体的有向体积，也就是这三个向量的混合积。
以上是比较好理解的直观，下面说的一些或许LZ暂时理解起来有难度~~
方阵可以看做线性变换的一种表示（取定一组基后）。按这种观点，行列式是这个线性变换对体积元的拉伸或压缩系数。所以在多元定积分上，对积分变量做变换以后要乘上该变换行列式的绝对值。
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至于和绝对值符号一样，这绝对是个意外……形式怪嘛，这个木有办法:( 谁让你非要写成全展开式呢~O(∩_∩)O~其实用多了也就不觉得怪了。
多说几句~LZ能提出这样的问题是非常赞的！说明很善于思考。估计你用的线性代数/高等代数的教材是一上来就讲行列式那种，也没有说它的直观意义和深层次背景。如果想了解得稍深一点，不妨看看北大版《高等代数简明教程》一书（蓝以中著），此书作为入门教材观点高一些，那里就是按我说的抽象的方法定义行列式的。不止如此，那本书比较重视线性映射与线性变换，对于线性代数整体的理解也很有帮助。
追问果然还是有高手啊，前面的部分我真不太理解，你说的面积那个地方我有点感悟，之前知道平面上三点ABC构成的三角形可以用S=1/2 * (AB * AC)来算面积, 空间中ABCD构成的三菱体可以用V=1/6 * AB,AC,AD的混合积来求体积，这样算下来还真是一致(好像6个三菱锥加起来就是一个平行6面体啊),不知道是不是这样理解的
另外想问下有没有相关的书来介绍这部分的内容呢，谢谢