什么是充要条件

Question

如题所述

Answer 1

充要条件　　充要条件（the necessary and sufficient conditions） 　　如果能从命题p推出命题q，那么条件p是条件q的充分条件 　　如果能从命题q推出命题p ，那么条件p是条件q的必要条件 　　如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么 条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件。　 　　以上是从逻辑推理关系说明。 　　我们也可以从元素、集合的角度看 　　集合A=集合B 则A是B的充分必要条件,简称充要条件。 　　如果命题A是命题B的充要条件,那么命题B也是命题A的充要条件。 　　“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假。 　　简单的说就是在p与q能相互推出时，他们就互为充要条件。由一个命题推出另一个命题，前者是后者的充分条件，后者是前者的必要条件。 　　举例：1、矩形对边平行。 　　对于这个命题，“该四边形是矩形”是“该四边形对边平行”的充分（不必要）条件。 　　“该四边形对边平行”是“该四边形是矩形”的必要条件。 　　2、平行四边形两组对边分别平行。 　　“该四边形为平行四边形”与“该四边形两组对边分别平行”互为充要条件。 　　如果p<=>q，那么p与q互为充要条件。

Answer 2

1.对充要条件的理解
对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.
(1)如果已知p
q，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成
x=y
x2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充分条件，
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有p
q，又有q
p，就记作
p
q.
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.
例如，命题p：x+2是无理数，
命题q：x是无理数.
由于“x+2是无理数”
“x是无理数”，所以p是q的充要条件.
2.从逻辑推理关系上看
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：
①若p
q，但q
p，则p是q的充分但不必要条件；
②若q
p，但p
q，则p是q的必要但不充分条件；
③若p
q，但q
p，则p是q的充要条件；
④若p
q，且┒p
┒q，则p是q的充要条件；
⑤若p
p，且q
p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
3.从集合与集合之间关系上看
若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则
①A
B，则p是q的充分条件；
②若A
B，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若AB，且AB，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解.
4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.
(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：
①确定条件是什么，结论是什么；
②尝试从条件推结论，结论推条件；
③确立条件是结论的什么条件；
④要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的.

Answer 3

1.对充要条件的理解
对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.
(1)如果已知p
q，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成
x=y
x2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充分条件，
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有p
q，又有q
p，就记作
p
q.
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.
例如，命题p：x+2是无理数，
命题q：x是无理数.
由于“x+2是无理数”
“x是无理数”，所以p是q的充要条件.
2.从逻辑推理关系上看
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：
①若p
q，但q
p，则p是q的充分但不必要条件；
②若q
p，但p
q，则p是q的必要但不充分条件；
③若p
q，但q
p，则p是q的充要条件；
④若p
q，且┒p
┒q，则p是q的充要条件；
⑤若p
p，且q
p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
3.从集合与集合之间关系上看
若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则
①A
B，则p是q的充分条件；
②若A
B，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B，且A?B，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解.
4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.
(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：
①确定条件是什么，结论是什么；
②尝试从条件推结论，结论推条件；
③确立条件是结论的什么条件；
④要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的.

Answer 4

也叫充分必要条件，例如有A、B两种情况，由A能推出B，由B也一定能推出A，就是充要条件。如果由A能推出B，而由B不能推出A，则是充分不必要条件 。

Answer 5

充要条件（the necessary and sufficient conditions） 　　如果能从命题p推出命题q，那么条件p是条件q的充分条件 　　如果能从命题q推出命题p ，那么条件p是条件q的必要条件 　　如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么 条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件。