一道数学推理题

Question

有一个老师在甲乙丙三个学生的头上贴了三个不同的正整数，且三个数字加起来为111，但甲乙丙不知道111这个数字只知道三个数字加起来为定值。其中一个人也只能看见其他两个人头上的数是多少。
老师就问甲：“你知道你头上的数吗？”甲说不知道，又问乙，乙也不知道，再问丙，丙也说不知道。
然后老师再问乙，乙还是也不知道，又问丙，丙说：“哦我知道了。”
求这三个数字

Answer 1

假设甲乙丙头上的3个数是a，b，c （无顺序）
不妨设 a＝b＋c a>b>c
有六种情况，我们可以分类讨论下：
即甲乙丙头上分别为： ≠
1 abc 2 acb 3 bac 4 bca 5 cab 6 cba
因为已知其他两个数，而不知道其运算规则，所以自己头上的数可能是其和，也可能是其差（取绝对值即大减小）。若某人某次说不知道，至少证明这个差不能等于他看到的其他两个数中的最小值。即某人看的大数不能为小数的2倍。
讨论1：第一轮中，都说不知道
证明：b≠2c a≠2c a≠2b （六种情况皆如此，第一轮就揭示了这个）
我们来整理下：第一轮过后的成果：
a-c≠2c a≠3c
b≠2a-2b a≠3b/2
第二轮：甲说不知道，证明乙甲所拥有的两个数，还是不能排除自己为其差的可能性！～所以证明了甲看到的两个数是满足大的不等于小的2倍，大的不等于小的3倍，也不为小的3/2倍。同理乙也是如此。
但丙在第二轮知道了，证明他发现他所掌握的两个数出现了大的为小的3倍，或者大的为小的3／2倍。
假设看到的是大的为小的3倍 显然自己若是小的2倍，不满足题意了，所以只能是其和，
这样的话自己就是a＝144 b和c为108和36
假设看到的大的为小的3／2倍，显然自己也不能是所看到的小的的1/2，所以也只能是其和，自己是a＝144 b和c为216/5和288/5 舍掉

所以这3个数是36，108，144
甲乙谁是36，谁是108就不能判断了。追问

不是这道题

追答

参考一下

Answer 2

首先 把他们命名为：
第1人 第2人 第3人
第一次问： 不能 不能 不能
第二次问： 不能 不能 不能
第一次问： 不能 不能 144
首先这三个数字除了“其中一个是另外两个的和”之外还应该有其它的规律，那就是稍大的两个数和最小数字的倍数关系。当然这其中不包括“1”的倍数。 比如数字是这样排列 2 ，5 ，7 三个数字的话 ，那将永远无法找到答案。还有这三个数字没有一个相等。
现在说第3人所猜出的“144” 应该是最大的数字，不然那剩下的一个数字有可能是1，2，3，4，5...任何一个数字。所以我断定这3个数字都在144之内才有可能。那现在根据“倍数关系”排列这个3个数字：
72 72 144
48 96 144
36 108 144
24 120 144
18 126 144
12 132 144
8 136 144
6 138 144
4 140 144
2 142 144
以上得出这10组数字其中第1，2，3组都有人可以在第一次提问中找到答案。现在测试第4组“24 120 144”因为第一人总是先回答 就是说在别人还不知道的情况下 他肯定也是不知道的，同样第二人也是如此。那我们现在根据最后得出答案为144的第三人立场 来考虑这个问题，开始吧：
首先在第一次提问的时候，前面两人都不知道 到了第三人他看到了什么？？他看到24 120这两个数字，然后他根据条件算出了自己的数字“96”或“144”这两个 所以他回答了“不知道”。接着 第2次问话前面两人还是不知道，这时第3人该如何思考？？？？
应该这样： 如果“我”（第3人的思想）头上的数字是“96”的话，那么第2人看到我头上的数字是“96”以后 肯定会以为他自己头上的数字是 “72”或“120”如果他以为自己头上的数字是72的话 那他肯定会想到“我”（第3人）以为自己头上的数字是“48”或“96”。如果他以为我以为我自己头上是48的话 那在他第二次回答“不知道”的 那我接下来肯定可以得出自己是“96”
如果 我是48 第一个是24 那么第二人肯定第一次就知道自己是“72”因为不可能两个24。 那么如果我头上是“96”的话，然而继续回答不知道的话， 那就是等于告诉了 第二个人 他头上那个数字不是“72” 那他肯定可以猜出自己头上是“120”
接着第三次 前面两人还是不知道，尤其是第2人 如果我头上是“96”的话 那他完全可以猜出自己头上是120 但是他没有猜出 那就可以判断出我头上不是96 而是144。
论证完毕 等待其它答案！追问

不是这道题

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