能否过任一三角形内心作一直线，同时平分面积、周长？

Question

1、该直线是否总存在？
是，请写出具体作法。
否，请说明。
我也可以证明存在性
但难就难在具体的尺规作图法！这是重点！

Answer 1

可以的.

首先可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积,画一下图,因为过内心,所以他们的高是一样的,将其中不是三角形的,做内心连到顶点可以分成几个三角形的面积来计算,由于他们的高都是一样的,都是内切圆的半径,所以面积只跟周长有关,所以平分周长必然平分面积,
同样可以证明过内心的一条直线平分面积比也必然平分周长.他们互为冲要条件;

所以只要满足其中一个条件即可, 显然满足一个条件很容易做到的;

Answer 2

不可以，必须是等腰三角形.

有的三角形不过内心都作不出.

你自己可以画图看看.

Answer 3

应该不可以吧，等腰和等边三角形就可以．

Answer 4

我敢保证“周小舟1987”的回答是正确的。一本奥赛书上有道题和他（她）说的一样！
……
尺规作图不是万能的，例如它不能三等分任意角。这个题尺规作图是不是作不出来呀？

Answer 5

等腰和等边三角形!