f(x)在[0,π/2]上连续。证明∫f(x)丨sinnx丨dx=2/π∫f(x)dx，其中积分区间都是从0到π/2

如题所述

推荐答案 2011-11-23

将区间均分为n份，分点为xi=ipi/2n，i=0,1,2,...,n。原积分写为n个区间的积分和，再在每个区间上用积分中值定理，＝求和_{i=1到n}f(yi)积分_{x_{i-1}到x_i}|sinnx|dx=2/pi×求和_{i=0到n}f(yi)pi/(2n)，当n趋于无穷时，后者是积分和，极限就是f的积分值。中间要用到在每个子区间上
|sinnx|的积分为1，可以用变量很容易得到。
积分_{x_{i-1}到x_i}|sinnx|dx=积分_{从(i-1)pi/2到ipi/2}{|sinz|dz}/n，这一步是令nx＝z。
积分_{从(i-1)pi/2到ipi/2}{|sinz|dz}＝积分_{0到pi/2}{|sinz|dz}＝1，这一步是令z-(i-1)pi/2=x

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