求助几道有趣的物理竞赛题（解答过程要详细一点啊）

Question

1.用巴普斯定理证明粗细均匀的匀质细铁丝围成的正三角形质心位置.
2.一堆完全相同的微小木块挨着桌边排成一列放在光滑桌面上，总长L，总质量m，在左侧施加一恒力F，小木块陆续掉落，求推下一半小木块时未掉落木块整体的速度v
3.如何用微积分求距离匀质球体（质量M,半径R）r(r<R)上质量为m的质点引力势能，已知质心对该点引力为f=GMmr/R^3
4.一质量m0,初速v0的子弹与一悬挂的质量为m轻杆发生完全非弹性碰撞（子弹镶入轻杆），子弹射入点距轻杆悬挂点h，求轻杆最大摆角（忽略空气阻力）
1.解决了！
3.帮忙看看我这个对不对：fdr=GmM/R^2 （从r到0)rdr=-GmMr^2/2R^3
当r=R时，书上说Ep=-GmM/R?????代入上式不符合啊
2和4.能有详细过程吗？我就是详细过程不会，思路有了，求详细过程和答案，会答一道就是一道啊，好的追加50分

Answer 1

1。绕三边转圈，求出质心距离三个底边长。
2。设数n，用F做功计算。
3。引力乘以dr积分到无穷远，那里默认引力势能为0。引力做功等于势能增长负值。或者直接假设原函数求导。
4。角动量守恒，算个新的转动惯量用能量求。
其实直接看贴吧里就好了，我已经回答了这个问题。追问

2能详细点吗，不会这个积分过程
3.帮忙看看我这个对不对：fdr=GmM/R^2 （从r到0)rdr=-GmMr^2/2R^3
当r=R时，书上说Ep=-GmM/R?????代入上式不符合啊
4.设轻杆长为L

追答

积分式子为：
-GMm*(1/r^2)dr|r=0->+∞
（1/r^2)*dr=-1/r，这个可以这么看：
f(r)=r^n;
f'(r)=n*r^(n-1)

Answer 2

我试试
《1》设其质心距其一边的距离为X，边长为L，绕改变旋转一周得其体积（即两个圆锥体）再除以三角型面积再除以2π就得X了
《2》这道题现设有N个木块，再有微分得到地X木块掉下时剩下所有木快的速度表达式，然后由1推到X/2S时就行了，一般物理竞赛书上都会有许多这样的题。
《3》f=GMmr/R^3由f*r再将r视为自变量积分就行了
《4》好像少了轻杆的长吧追问

2能详细点吗，不会这个积分过程
3.帮忙看看我这个对不对：fdr=GmM/R^2 （从r到0)rdr=-GmMr^2/2R^3
当r=R时，书上说Ep=-GmM/R?????代入上式不符合啊
4.设轻杆长为L

Answer 3

动不动就用积分，这是个好工具却限制了学生的思维能力。
像第二题要是我就画一个a-s的图像，加速度对位移的图像下的面积就可表示v^2这个量的变化量，呵呵，我随便猜的，不想用微元法。
第三题不知答案是什么，不过确如有位仁兄所说，你这积分出来的是引力从无穷远到该位置时对质点所做之正功，但是引力做正功时势能就减少，即W = -ΔEp，所以ΔEp = -W 你加个符号即可。不过大家都没注意到，如果用引力积分，在球体内部的引力大小的表达式跟在球体外部时给人的感觉是不一样的呵呵。所以我肯定不用积分做。
第四题请你先学好各种典型物体的转动惯量，并且会用转动惯量和角速度表示转动能量，最后就是对于上方转轴的角动量守恒解决碰撞完毕瞬间装置的角速度，然后设出最大角度，让碰毕瞬间的转动能量等于末状态角速度为0时的杆和子弹的总体重力势能增量。

Answer 4

4.看看对不对：m0×v0=（m0+m）×v，v=m0×v0/（m0+m），g×h1=（1/2）×v×v，
h1=（1/2）×m0×m0×v0×v0/（（m+m0）×（m+m0）），
cosα=（h-h1）/h

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