不定积分上限函数的推导需要使用到微积分的基本定理，即牛顿-莱布尼茨公式。这个公式告诉我们，一个函数的原函数可以通过求导然后取反来得到。
首先，我们需要知道什么是原函数。如果一个函数f(x)的所有不定积分F(x)加上一个常数C都等于f(x)，那么我们就说F(x)是f(x)的一个原函数。换句话说，原函数就是将一个函数“还原”为一个初等函数（如多项式、指数函数、对数函数、三角函数等）的过程。
然后，我们来看如何求一个函数的原函数。假设我们要求解的是f(x)在a到b上的不定积分，那么我们可以先将f(x)在a到b上的每一点都进行泰勒展开，然后将这些泰勒级数相加，得到的就是f(x)在这个区间上的原函数。
但是，这个方法在实践中并不实用，因为它需要进行大量的计算。因此，我们通常会使用一些更复杂的方法，如拉格朗日插值法或者牛顿插值法，来求解原函数。
最后，我们需要注意到，不定积分的结果是一个函数族，而不是一个具体的函数。这是因为对于每一个常数C，F(x)+C都是f(x)的一个原函数。因此，不定积分的结果通常表示为F(x)+C的形式，其中C是任意常数。
总的来说，不定积分上限函数的推导涉及到微积分的基本定理和原函数的概念，需要一定的数学知识和技巧。