f(x)=2/3的三次方+ax的平方+ax+1有两个极值点x1,x2,且x1<x2 1求a的取值范围 2若f(x1)+f(x2)求a的取值范围

Question

如题所述

Answer 1

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已知f(x)=0.5ax²-2ax+lnx有两个极值点x₁，x₂，且x₁x₂<1/2；(1)。求a的取值范围M；
2）若x∈[（2+√2）/2，2]，使不等式f(x)+ln(a+1)>b(a²-1)-(a+1)+2ln2对所有a∈M恒成立，求实数b的取值范围
解：(1). f(x)的定义域为：x>0；
令f′(x)=ax-2a+1/x=(ax²-2ax+1)/x=0；得ax²-2ax+1=0，因为有两个极值点，故其判别式Δ=4a²-4a
=4a(a-1)>0，故得a<0或a>1..........(1)
又x₁x₂=1/a<1/2，故a>2.............(2)
M=(1)∩(2)={a︱a>2}
(2) 由f(x)+ln(a+1)>b(a²-1)-(a+1)+2ln2..........(3)得：
b<[f(x)+ln(a+1)+(a+1)-2ln2]/(a²-1) =u [(2+√2)/2≦x≦2；a>2]
要使不等式(3)对任何a∈M恒成立，则b要小于u的最小值。
由于u=[(1/2)ax²-2ax+lnx+ln(a+1)+(a+1)-ln4]/(a²-1)
={(1/2)a[(x-2)²-4]+lnx+ln(a+1)+(a+1)-ln4]/(a²-1)}
={(1/2)a(x-2)²+lnx+ln(a+1)-a+1-ln4]/(a²-1)}
≧ln2+ln(a+1)-a+1-ln4>ln2+ln3-2+1-ln4=ln(6/4)-1=ln(3/2)-1
即要使(3)对所有a∈M恒成立，必须b<ln(3/2)-1.
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