关于一道定积分的高数题

Question

要用投影到y轴的摄影做

Answer 1

投射到y轴：
{ y = 2x + 3 => { x = (y - 3)/2
{ y = x² { x = √y 和 x = -√y
交点(-1，1)，(3，9)
在y∈[0，1]，面积A由x = √y 和 x = -√y 所包围，x = √y > x = -√y
在y∈[1，9]，面积B由x = (y - 3)/2 和 x = √y 所包围，x = √y > x = (y - 3)/2
总面积=面积A + 面积B
= ∫(0->1) [√y - (-√y)] dy + ∫(1->9) [√y - (y - 3)/2] dy
= 2∫(0->1) √y dy + ∫(1->9) (√y - y/2 + 3/2) dy
= 4/3 + 28/3
= 32/3
= 10又2/3

投射到x轴：这个用来做对比，你大可以不用看的。
{ y = 2x + 3
{ y = x²
解方程得：(-1，1)，(3，9)
在x∈[-1，3]，y = 2x + 3 > y = x²
面积= ∫(-1->3) [(2x + 3) - (x²)] dx，∵y = 2x + 3 > y = x²
= ∫(-1->3) (-x² + 2x + 3) dx
= -x³/3 + x² + 3x
= 9 - (-5/3)
= 32/3
= 10又2/3

事实上，投射到x轴的方法比较好做，因为是连续的，不用裂开为两个积分。

Answer 2

看图