椭圆的一条弦与椭圆外一直线上的点组成的三角形问题？

Question

请见图片。求解。

Answer 1

a²=6,c=2,x=3恰好是椭圆右准线,e=c/a=√6/3
设A在x轴上方,B在x轴下方,过A,B分别作准线的垂线,垂足为M,N.再设AM=m,BN=n
根据椭圆的第二定义,AF=eAM=√6/3*m,BF=eBN=√6/3*n
所以AF+BF=AB=√6/3*(m+n)
又因为△PAB是等边三角形,所以PA=PB=√6/3*(m+n),∠PAB=∠PBA=60°
设直线AB的倾斜角为θ,即∠ABN=θ,那麼∠PBN=|θ-60°|
∠BAM=180°-θ,所以∠PAM=|θ-120°|
(以上角度关系自己画图可以看出来)
根据三角函数的定义,cos∠PAM=AM/PA,即cos(θ-120°)=√6m/2(m+n)
同理,cos(θ-60°)=√6n/2(m+n)
两个式子相加得cos(θ-120°)+cos(θ-60°)=√6/2
解得θ=45°或135°
所以k=±1,直线方程为y=x-2或y=2-x

但这道题槽点满满,因为圆锥曲线的第二定义已经不是考纲的内容,所以用常规方法做非常麻烦.常规方法需要你设方程,联立直线和椭圆,得到x1+x2和y1+y2(含有k的表达式),从而写出AB中点M的坐标.再利用PM⊥AB,写出PM方程,从而得到P点坐标.最後利用线段长度的关系,PM=√3/2*AB,化简一堆含k的式子,最後解出来.
常规做法的好处是P点所在直线可以是任意一条直线,不一定要是准线,所以是通用方法.但这全部考你代数式的化简和计算,没有任何新意,so这道题并不是一道很好的练习题.