求圆的面积公式和周长公式的推导，到底是哪个推出了哪个？其中有一个是公理或是定义吗？

Question

如何确定π是个常数？

Answer 1

1.将圆沿半径切割成若干等份(越多越好)(成若干扇形)
2.将扇形平均分成两份,相互对应起来拼成一个近似长方形的图形.(越多越接近长方形)
3.长方形的面积=长乘宽,这个拼成的长方形的长是圆周长(2Pr)的一半,所以,长是Pr(圆周率的符号我不会打,用P表示),宽是圆的半径r,因此得到圆的面积的计算公式为S=Pr.r=Pr2(平方)

圆周长推导

找几个圆形的物体，分别量出它们的周长和直径，并计算出周长和直径的比值。通过试验和统计，我们可以知道，圆的周长总是直径的三倍多一些。那么，任何圆的周长和直径的比值都是一个固定的数（圆周率）。因为圆的周长总是直径的∏倍，当我们知道圆的直径或者半径时，就可以算出它的周长。即 c= ∏ d c=2 ∏ r.

圆面积的推导：

在硬纸板上画一个圆，把圆分成若干等分，剪开后用这些近似的等腰三角形的小纸片拼一拼，就可以拼成一个近似的平行四边形。如果分的分数越多，每一份会越细。拼成的图形就会越接近长方形。长方形的长等于圆周长的一半，即 r , 宽等于圆的半径 r ，因为长方形的面积 = 长×宽，所以园的面积 =r × r = r² 即 s= ∏ r²追问

那也就是说周长=2 ∏ r是公理或者是没被证明的？而圆的面积是由周长公式得出的？请详解。

追答

分的分数越多，拼成的图形就会越接近长方形，所以设长方形的长为C/2，宽为r，S长=长×宽=∏ r×r=∏ r²

追问

呃，不要复制好不好？我问的是周长是怎么得出来的。

追答

很多是对于实验的归纳，但是要严密的推导，还要必须使用到微积分啊~~ = = 你还在纠结啊~

追问

那能不能用微积分推呢，急需的呀

追答

那就简单点的哈。。。因为圆的周长与直径有着一个常数的比，这个常数叫π，于是，自然地周长=2 π r，实验的归纳出来的

追问

恩，我只想知道圆的周长与直径有着一个常数的比倒底是实验得出的还是证明出的。

追答

π就是圆周率。。圆周率怎么来的，这个好像有点关系到历史了= =！不过早期都通过实验而得到的结果。。。然后嘛就是阿基米德是第一个用科学方法求得它的值的

追问

实在太麻烦你了，也谢谢你为我解答，就采纳你吧，已经有人给出了证明，圆周率是常数可以和e是常数一样通过单调有界原理证明的。

Answer 2

面积推出了周长，参考扇形面积等于弧长乘半径乘二分之一追问

那面积是如何推出的呢？

Answer 3

不是哪个推出了哪个，其实圆的面积公式可以不用周长公式推导，现在只是习惯上用的周长公式推导面积公式。
周长推导，把圆周分成n份，每一份圆弧两端x的增量为Δx,y增量为Δy，当n无穷大时，这个弧可以近似成线段，弧长为根号(Δx^2+Δy^2),在圆的参数方程中有
x=rcost,y=rsint,(t∈[0,2π]),因此周长就是根号(x'(t)^2+y'(t)^2)对t在0到2π上的积分，算出结果C=2πr
同样近似的思想将圆面积分成无穷多圆环的面积和，可以推出面积公式，这里就不重复了。追问

那你说的0到2π上的积分中的π又是从何而来的呢？

Answer 4

推导面积公式时要用到周长公式：拼接后的长方形的长等于圆周长（C=2πr）的一半（πr），宽为半径（r）面积为S=πr*r=πr²。所以因该说周长公式推导出面积公式。
π是圆周长与圆直径的比值，对于任何一个圆来说都是一定的。因此说它是一个常数。追问

那π是常数是怎么证明的呢？不会是实验吧？