证明定理17.8的推论。推论：若函数f在区域D上存在偏导数，且fx=fy≡0，则f在区域D上为常量函数．

Question

A.8的推论。

Answer 1

【答案】：取定P₀(x₀，y₀)∈D，因为D是连通域，所以可以用全部在D内的折线连接P₀和P．若P₁(x₁，y₁)是折线上P₀后面的一个顶点，则由于f在D内偏导数连续，且f_x=f_y≡0，故在定理17.8中的公式(8)中令 h=x₁-x₀，k=y₁-y₀，立即得出
f(x₁，y₁)=f(x₀，y₀)．
如此逐步推算，由一个顶点到另一个顶点，最后可得
f(x，y)＝f(x₀，y₀)，
即f在区域D上为常量函数．