最值问题常用的结论有什么？

Question

如题所述

Answer 1

1. 单调性原则：如果一个函数在其定义域上是单调递增（或递减）的，那么它的最大值（或最小值）只能在其定义域的两个端点处取得。
2. 有界性原则：对于封闭区间上的连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，该函数必定在该区间上有最大值和最小值。
3. 均值不等式：对于任意的非负实数a和b，有以下均值不等式成立：(a+b)/2 ≥ √(ab)，等号成立当且仅当a=b。
4. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意的实向量u和v，都有|u·v| ≤ ||u||·||v||，其中||u||和||v||分别表示向量u和v的模。
5. 三角不等式：对于任意的三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
6. 二次函数的最值：对于形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的二次函数，其最值在顶点处取得，且最大值或最小值可以通过公式f(-b/2a)来求得。
7. 导数与最值：对于连续可导的函数f(x)，如果f'(x) = 0并且f''(x) > 0，则f(x)在x处取得局部最小值；反之，如果f''(x) < 0，则f(x)在x处取得局部最大值。
8. 拉格朗日乘数法：用于求解带有约束条件的最值问题。假设我们要最大化或最小化函数f(x,y)，并受到g(x,y) = 0的约束，可以引入一个新的变量λ，使得梯度(∂f/∂x, ∂f/∂y)平行于梯度(∂g/∂x, ∂g/∂y)。
9. 凸函数的性质：对于定义在凸集上的凸函数，任何两点之间的线段仍然在函数图像的下方，这意味着凸函数的局部最小值也是全局最小值。
10. 费马定理：对于定义在闭区间[a,b]上的连续可微函数f(x)，如果f(x)在(a,b)内取得局部极值，并且在端点a和b处取得最值，那么存在一个c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
以上只是一些基本的结论和原则，实际上，最值问题的解决方案可能会更加复杂和多样。但是，这些基本原则为我们提供了一个出发点，帮助我们更快地找到答案。