线性代数预习自学笔记-1：矩阵的由来

Question

如题所述

Answer 1

开始我们的矩阵之旅，让我们以经典的《Linear Algebra with Applications (Ninth Edition)》为导引，深入理解线性方程组的奥秘。

一、线性方程组的引入</

想象一个部落采用货币系统进行定价，Leontief模型巧妙地将这样的经济问题转化为线性方程组的形式。一个含n个未知数的系统，就是m个线性方程组成的m×n矩阵，这就是我们探索的基础。

二、求解路径</

面对超定（m > n）和亚定（m < n）的方程组，我们区分它们，通过消元法寻找解的钥匙。严格三角形矩阵是求解的基石，回代法犹如寻宝路线，将矩阵转化为易于处理的形式。

增广矩阵，这个关键工具，承载着原方程组的所有信息，是矩阵运算的桥梁，让我们得以求解背后的未知世界。

三、矩阵的定义与运算法则</

矩阵，m×n的矩形阵列，当n=m时，它成了尊贵的方阵。初等行运算是矩阵变换的轻盈舞步：交换行列位置，乘以非零系数，或行倍增，它们共同指向消元的目标，将复杂问题简化为严格三角形矩阵。

行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，就像数学的里程碑，它们刻画了方程组的结构，揭示了解的自由度和关键变量。

四、探索自由与约束</

齐次方程组，等号右边是零的特殊方程，它揭示了无解的平凡解和可能无穷多解的自由空间。定理1.1告诉我们，当n大于m时，非平凡解的存在并非偶然，而是数学法则的必然。

矩阵算术的大幕即将拉开，但此刻，我们已经铺垫了坚实的理论基础。下篇，我们将深入探讨矩阵运算的精髓，揭示线性代数更为广阔的宇宙。