拉普拉斯定理的公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

拉普拉斯定理求行列式如下：其中任意取定 k 行（列），1≤ k ≤ n -1，由这 k 行（列）的元素所构成的一切 k 阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式 D 的值。
拉普拉斯公式

1、拉普拉斯公式是关于行列式的展开式，也称为拉普拉斯展开或拉普拉斯定理。它可以用来计算行列式的值。
2、将一个nxn矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的（n-1）x（n-1）余子式的和。
3、拉普拉斯定理可以用来求行列式的值，其中任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。


拉普拉斯定理及相关例证
一、拉普拉斯定理
1、计算降阶行列式的一种方法。该定理断言：在n阶行列式D=lail中，任意取定k行（列），1sk≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。
2、此展式称为拉普拉斯展式。
拉普拉斯定理亦称按k行展开定理。拉普拉斯定理事实上是柯西（Cauchy,A.-L.）于1812年首先证明的。
二、相关例证
1、利用拉普拉斯定理证明相关命题
定理3，设A,B是n阶方阵，则｜AB|=|A||B|，
定理4，A10000A200000000As=|A1||A2l….As|，其中Ai是ni阶方阵，i=1,2,...,S定理4由定理2易得。
2、利用拉普拉斯定理计算行列式
（1）例1计算行列式D=a00b0cd00ef0g00h。解由于D的第一、四行中只有一个2阶子式不为零，因此，取这两行，然后根据拉普拉斯定理展开的D=abgh(-1)(1+4)+(1+4)cdef=acfh-adeh+bed g-bcgh。
（2）例2设A=34004-30000200022，求IA8｜及A4。解若记AA100A2，其中A1=344-3,A2=2022，则A成为一个分块对角矩阵。
（3）于是｜A8[=|A|8=(|A1]|A2|)8=|A1|8|A2|8=1016；A4=A4100A42。因为，A21=250025，所以A41=54E;A2=21041．代入即得A4=540000540000240002624。