全微分的形式不变性

Question

如题所述

Answer 1

全微分的形式不变性设具有连续偏导数,则有全微分
如果具有连续偏导数,而也具有连续偏导数,则===.由此可见,无论是自变量或中间变量的函数,函数它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.注:在求多元隐函数的偏导数或全微分时,一阶全微分形式不变性是重要工具。
我们知道一元函数具有一阶微分形式不变性。设y＝f（u）在u处可导，若u是自变量，则dy＝f'（u）du若u是中间变量，u还是关于x的函数，且u＝g（x）在x处可导。则有有复合函数求导法则（链式法则）有复合函数y＝f[g（x）]在x处可导。
则根据微分的概念和复合函数微分法：dy＝y'（x）dx＝f'（u）g'（x）dx。而g'（x）dx＝du_dy＝f'（u）du换句话说：一元函数y＝f（u）中，无论u是自变量还是中间变量，都有dy＝f'（u）du我们称为一元函数一阶微分形式不变性。