拉普拉斯定理求行列式如下:其中任意取定 k 行(列),1≤ k ≤ n -1,由这 k 行(列)的元素所构成的一切 k 阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式 D 的值。拉普拉斯公式
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1、拉普拉斯公式是关于行列式的展开式,也称为拉普拉斯展开或拉普拉斯定理。它可以用来计算行列式的值。
2、将一个nxn矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开,即是将其表示成关于矩阵B的某一行(或某一列)的n个元素的(n-1)x(n-1)余子式的和。
3、拉普拉斯定理可以用来求行列式的值,其中任意取定k行(列),1≤k≤n-1,由这k行(列)的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。
拉普拉斯定理及相关例证一、拉普拉斯定理
1、计算降阶行列式的一种方法。该定理断言:在n阶行列式D=lail中,任意取定k行(列),1sk≤n-1,由这k行(列)的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。
2、此展式称为拉普拉斯展式。
拉普拉斯定理亦称按k行展开定理。拉普拉斯定理事实上是柯西(Cauchy,A.-L.)于1812年首先证明的。
二、相关例证
1、利用拉普拉斯定理证明相关命题
定理3,设A,B是n阶方阵,则|AB|=|A||B|,
定理4,A10000A200000000As=|A1||A2l….As|,其中Ai是ni阶方阵,i=1,2,...,S定理4由定理2易得。
2、利用拉普拉斯定理计算行列式
(1)例1计算行列式D=a00b0cd00ef0g00h。解由于D的第一、四行中只有一个2阶子式不为零,因此,取这两行,然后根据拉普拉斯定理展开的D=abgh(-1)(1+4)+(1+4)cdef=acfh-adeh+bed g-bcgh。
(2)例2设A=34004-30000200022,求IA8|及A4。解若记AA100A2,其中A1=344-3,A2=2022,则A成为一个分块对角矩阵。
(3)于是|A8[=|A|8=(|A1]|A2|)8=|A1|8|A2|8=1016;A4=A4100A42。因为,A21=250025,所以A41=54E;A2=21041.代入即得A4=540000540000240002624。