第3个回答 2019-02-27
记a的算术平方根为Q
(抱歉我还只有一级不能插图片,连个公式也插不了)
1.当X1>Q时,
证有界:设Xn>Q,(显然N=1时成立),则X(n+1)=(Xn+a/Xn)/2>(Q+a/Q)/2=Q
(y=x+a/x为耐克函数,有Y〉=Q,当且仅当x=Q时取等号),由数学归纳法可知Xn>Q成立
证单调:X(n+1))=(Xn+a/Xn)/2<(Xn+(Xn的平方)/Xn)/2=Xn
2.
当X1=Q,Xn=Q
3.
当0<X1<Q时,
X(n+1)=(Xn+a/Xn)/2>(Q+a/Q)/2=Q,可知X2>Q,那么可暂时不管X1,可知由X2开始的新数列必有Xn〉Q,且单调减小。(其实就是再把1证一遍),数列的极限为n趋向无穷大时的情况,与x1无关。
小结:有界,单调,必收敛。
记数列极限为M
由于X(n+1)与X(n)相同,且X(n+1)=1/2(Xn+a/Xn),故W=(W+a/W),解得W=Q,(W=-Q舍去,因为明显Xn>0)
其实此题解题时应先求出极限Q,再证收敛!!!
此题关键是耐克函数的应用,研究一下吧。
----好累啊----