级数求和问题：求：∑1/（1+n^2）(n从1到正无穷)

Question

找了半天都没找到答案，请好心人帮帮忙

Answer 1

答案是[pi(e^(2pi)+1)/(e^(2pi)-1)-1]/2
利用 x*cotx-1 = \sum 2x^2/(x^2-n^2pi^2) 即可，取x=i*pi
如果你不知道上面那个公式怎么来的就比较麻烦了，我只能说先要知道sinx的无穷乘积展开，然后取ln，再求导。追问

这里面用到傅立叶级数的复数形式展开吗？我刚接触傅立叶级数，学的还不是很透彻，能否将做题时用到的原理名称写一下？我好查阅一下相关资料

追答

用Fourier级数也可以做，如果你不想用到复数的话可以在(0,2pi)上展开e^x，这个计算量不大。

Answer 2

答案是[pi(e^(2pi)+1)/(e^(2pi)-1)-1]/2
利用 x*cotx-1 = \sum 2x^2/(x^2-n^2pi^2) 即可，取x=i*pi
如果你不知道上面那个公式怎么来的就比较麻烦了，我只能说先要知道sinx的无穷乘积展开，然后取ln，再求导。

Answer 3

暂时没相除什么办法，但是猜测应该是利用：
arctanx=1/x^2
然后在逐项求导
∑1/（1+n^2）=∑(arctan n)' = (∑arctan n)'
提供一点思路而已，大家一起讨论讨论

Answer 4

利用Fourier展开式，展开cosax.先令x=0.再令a*pi=x 可证明cotx=1/x+∑2x/(x^2-[(pi)n]^2)
再令x=i*pi.即可求。追问

那个i*pi带到式子里就变成了 cot(i*pi)=1/i*pi+∑2i*pi/(i*pi)^2-[pi*n]^2.这个式子要怎么计算？用到复变函数？