A的秩为1,且A不与任何对角阵相似，证明：对任意正整数k，A^k不为零。

Question

如题所述

Answer 1

这是一个假命题，反假如下：
令 A为
0 1
0 0
则A是一个秩为1，且不能对角化的矩阵
但 A²=0

Answer 2

结论不成立。反例：
A =
0 1
0 0
A^2 = 0, 但A不相似于任何对称阵。 因为其特征根都为0， 其可能相似的对称阵只可能是0矩阵，但A不可能相似于0矩阵。