高数 简单的多元函数极值问题

Question

高数 简单的多元函数极值问题两道

Answer 1

1.
设球面上点 P (A, B, C), 其中 A = cosa cosb, B =cosa sinb, C = sina
切面的点法式方程: A(x-A) + B(y-B) + C(z-C) = 0
x/(1/A) + y/(1/B) + z/(1/C) = A^2 + B^2 + C^2 = 1, 这样我们得到切面的截距式方程
截距 分别为 1/A, 1/B, 1/C
所求平方和 d^2 = 1/A^2 + 1/B^2 + 1/C^2
d^2 = 1/cosa^2 (1/cosb^2 + 1/sinb^2) + 1/sina^2
显然, d^2 最小值: 在 1/cosb^2 + 1/sinb^2 取最小值时 (这个也可以根据 S 对 a, b 的偏导数关系得到),
1/cosb^2 + 1/sinb^2 = 1/(cosbsinb)^2 = 4/(sin2b)^2,
此时 b = 45度, sinb = sqrt(2)/2, 1/cosb^2 + 1/sinb^2 = 4, d^2 = 4/cosa^2 + 1/sina^2
令 t = sina^2
d^2 = 4/(1-t) - 1/t, 对 t 求导数, 导数为 0 时取最小值
4/(1-t)^2 = 1/t^2, 得到: t=1/3, 也就是 sina = sqrt(3)/3
至此, 我们得到 P (A, B, C), 也就是 P (sqrt(3)/3, sqrt(3)/3, sqrt(3)/3)

2.
设点 P(x, y, z) 在椭圆面上, P 在第一卦限, V = 4 xyz
设 A = x/a , B = y/b, C = z/c
V = 4abc ABC = 4abc AB sqrt[1-(B^2+C^2)]
设 A=cosα cosβ, B=cosα sinβ, C = sinα
V = 4abc cosα^2 sinβ cosβ sinα
= 4abc sinα(1-sinα^2) sinβcosβ
显然, V 最大值时, sinβcosβ = sin2β/2, 当且仅当 β=45度, 此时 sinβcosβ = 1/2
V = 2abc sinα(1-sinα^2)
我们设 t = sinα
dV/dt = 2abc (1 - 3t^2)
最大值出现在 dV/dt = 0, t = sqrt(3)/3
此时, A=B=C = sqrt(3)/3
x, y, z 分别为: sqrt(3)a/3, sqrt(3)b/3, sqrt(3)c/3