二阶连续偏导数推出二阶混合偏导数相等？

Question

怎么得出来的？

Answer 1

实际上如果对x，y的偏导在某点P的邻域存在，在P处可微，也可以推导处二阶混合偏导可交换的性质。

F（x，y）=x^3y^3sin（1/（xy）），xy≠0。

F（x，y）=0，xy=0。

1、xy=0，显然有

Fx'（x，y）=Fy'（x，y）=0。

2、xy≠0。

Fx'（x，y）=3x^2y^3sin（1/（xy））-xy^2cos（1/（xy））。

Fy'（x，y）=3x^3y^2sin（1/（xy））-x^2ycos（1/（xy））。

x方向的偏导

设有二元函数z=f（x，y），点（x0，y0）是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x，y）有增量（称为对x的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。

如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，记作f'x（x0，y0）或函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f（x，y0）在x0处的导数。

Answer 2

实际上如果对x, y的偏导在某点P的邻域存在，在P处可微，也可以推导处二阶混合偏导可交换的性质，楼主可以尝试写一下证明。

Answer 3

累次极限可交换顺序的定理，中间步骤可能用到微分中值定理。

Answer 4

看你偏的是那个

Answer 5

F(x,y)=x^3y^3sin(1/(xy)),xy≠0.
F(x,y)=0,xy=0.
1.xy=0,显然有
Fx'(x,y)=Fy'(x,y)=0.
2.xy≠0,
Fx'(x,y)=3x^2y^3sin(1/(xy))-xy^2cos(1/(xy)),
Fy'(x,y)=3x^3y^2sin(1/(xy))-x^2ycos(1/(xy)).
3.
xy=0,显然有
Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)=0.
4.
xy≠0,
Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)=
=9x^2y^2sin(1/(xy))-5xycos(1/(xy))-sin(1/(xy)).
==>
在R^2上,F(x,y)的二阶混合偏导数相等,
但是二阶混合偏导数不连续.
关键在于，原先是xsin(1/x)的形式，在0点附近x占主导，所以其连续且偏导数存在，可是求完偏导数之后，有sin(1/x)的单独的项，这是一个不连续的项。追问

这个只是一个例子啊？没有更具体的解释吗

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