我看书上周期函数的积分有个性质：

Question

∫（上限x，下限0）F(X) dt以T为周期的充要条件是∫（上限T，下限0）F(t) dt=0，而∫（上限T，下限0）F(X) dx=0等于∫（上限a+T，下限a）F(X) dx=0？？。那岂不是变成了所有周期函数以一个周期为上下线的积分都是零了？？

Answer 1

你这个问题有错误，上面的充要条件是错的 周期函数在一个周期内的积分不为零。只有个别的在一个周期内为0哦 比如最简单的sinx cosx这些，但是这些函数一旦上下移动，例如y=sinx +5 他也是周期函数，但是在一个周期上的积分就不为零了。你看到的那个充要条件应该是有什么前提的。追问

前提就是周期函数，T为周期在[0，T]可积则：∫（上限x，下限0）F(t) dt以T为周期的充要条件是∫（上限T，下限0）F(t) dt=0
证明是：书上给出的证明是： ∫（上x+T，下0）F(t) dt= ∫（上x，下0）F(t) dt+∫（上x+T，下x）F(t) dt= ∫（上x，下0）F(t) dt+ ∫（上T，下0）F(t) dt
由此得∫（上x+T，下0）F(t) dt=∫（上x，下0）F(t) dt（即∫（上x，下0）F(t) dt以T为周期）
∫（上T，下0）F(t) dt=0

Answer 2

不对啊。最简单的， 设 f(x)是周期函数， 且 f(x)=1, x∈[0,1]
f(x) 在长度为一个周期的区间上的积分都等于 1/2
应该是： 周期函数在长度为一个周期的区间上的积分都相等。追问

书上给出的证明是： ∫（上x+T，下0）F(t) dt= ∫（上x，下0）F(t) dt+∫（上x+T，下x）F(t) dt= ∫（上x，下0）F(t) dt+ ∫（上T，下0）F(t) dt
由此得∫（上x+T，下0）F(t) dt=∫（上x，下0）F(t) dt（即∫（上x，下0）F(t) dt以T为周期）
∫（上T，下0）F(t) dt=0

追答

由周期函数在长度为一个周期的区间上的积分都相等，
得到 ∫ [x,x+T] = ∫ [0,T]
于是 ∫ [0,x+T] = ∫ [0,x] + ∫ [x,x+T] = ∫ [0,x] + ∫ [0,T]
故 ∫ [0,x+T] = ∫ [0,x] 等价于 ∫ [0,T] = 0

追问

我就是想问既然 ∫ [0,T] = 0而且∫ [x,x+T] = ∫ [0,T]那 ∫ [x,x+T] 不也是零？y=lsinxl在0到π的积分不也成了零了？？

追答

看你上面是推导出一个等价条件：
∫ [0,x+T] = ∫ [0,x] 等价于 ∫ [0,T] = 0
而并非总是有 ∫ [0,T] = 0。

追问

书上真是真么印的。。。哎。。悲剧了，总之这句话∫（上限x，下限0）F(X) dt以T为周期的充要条件是∫（上限T，下限0）F(t) dt=0就是扯。。。谢了！

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Answer 3

这两个概念有混淆，第一个条件是整个定积分的周期为T的充要条件，而你的第二个式子是F(x)的周期为T，不是一个概念！

Answer 4

周期函数积分为周期函数的充分条件是这个周期函数在一个周期内的积分值为零