如何分解因式

Question

如题所述

Answer 1

因式分解的一般步骤是:一提二套三分解
一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则
先提公因式;若没有,则套用公式.

二套:即套用公式,在没有公因式的前提下,则套用公式,
常用公式有:a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
十字相乘法:x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
举例: x^2+5x+6=(x+3)(x+2)

三分解:即分组分解法.对于四项或四项以上的,一般都采用这种方法

下面主要对分组分解法和其他常见的方法归纳如下．

　　一、分组分解因式的几种常用方法．

　　1．按公因式分解

　　例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．

　　分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，

　　解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．

　　2．按系数分解

　　例2 分解因式x3+3x2+3x+9．

　　分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．

　　解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．

　　3．按次数分组

　　例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2．

　　分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．

　　解：原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．

　　4．按乘法公式分组

　　分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．

　　5．展开后再分组

　　例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．

　　分析：将括号展开后再重新分组．

　　解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．

　　6．拆项后再分组

　　例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．

　　分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．

　　解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．

　　7．添项后再分组

　　例7 分解因式x4+4．

　　分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．

　　解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

　　二、用换元法进行因式分解

　　用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．

　　例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．

　　分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．

　　解：令y=x2+3x，则

　　原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．

　　因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．

　　三、用求根法进行因式分解

　　例9 分解因式x2+7x+2．

　　分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．

　　
　　四、用待定系数法分解因式．

　　例10 分解因式x2+6x-16．

　　分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得

　　x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得

　　b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．

　　解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)

　　则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2

　　∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．

Answer 2

你好，在数学上分解因式的步骤是:
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

因式分解的原则是:

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；

5、结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；
6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。