三个质数乘积恰好等于它们和的7倍，这三个质数分别是多少

Question

如题所述

Answer 1

设这三个质数为a、b、c
那么
abc=7(a+b+c)
从而，7|abc
因为a、b、c为质数，
那么a、b、c中一定有一个数为7，
因为这个式子中，a、b、c的地位相同，不妨设a=7
于是，
7bc=7(7+b+c)
bc=7+b+c
bc-b-c=7
bc-b-c+1=8
(b-1)(c-1)=8
因而，
b-1=1时，c-1=8
或
b-1=2时，c-1=4

那么
b=2、c=9（不是质数，舍去）
或
b=3、c=5

因而，唯一答案为：3、5、7

【经济数学团队为你解答！】

Answer 2

解：
设三个质数分别为x、y、z
7(x+y+z)=xyz
要等式成立，xyz中包含因子7，又x、y、z均为质数，x、y、z中有一个质数是7
由轮换对称性不妨令x=7，代入等式，整理，得
(z-1)y=z+7
y=(z+7)/(z-1)=(z-1+8)/(z-1)=1+ 8/(z-1)
要y为正整数，8能被z-1整除，又z为质数，z只能为2、3、5
对应的y分别为9，5，3
其中，只有z=3，y=5；z=5，y=3满足y、z同时为质数。
综上，得这三个质数分别为3、5、7

总结：
本题考察了质数的运算。计算过程需要分析确定。

Answer 3

3 5 7