求微分方程y"-2y'-8y=0;y"+y'-2y=0;y"-5y'+6y=0的通解

Question

如题所述

Answer 1

此齐次微分方程的特征多项式是：λ²-2λ-8=(λ-4)(λ+2)=0
所以λ1=4,λ2=-2
所以通解y=C1e^(4x)+C2e^(-2x)
其中C1、C2是任意常数

设y=e^ax
带入y''+y'-2y=0 求导化简得
a^2+a-2=0
(a-1)(a+2)=0
a=1,a=-2
通解为
y=e^x+e^-2x+c

Answer 2

这几个方程都是二阶常系数齐次线性微分方程，因此可以通过特征方程来求解。

标准求解方法说明如下：
对于标准形式： y″+py′+qy=0 (p,q为常数) 的方程，可以求解其特征方程：

r²+pr+q=0

方程的通解和方程的的两个根r₁、r₂有关：

（1）两个不相等的实根：y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)

（2）两根相等的实根：y=(C₁+C₂ x) e^(r₁x)

（3）共轭复根r=α±iβ： y=e^(αx)*(C₁cosβx+C₂sinβx)

根据上述公式，可以得到你的题目的通解：

（1） y"-2y'-8y=0，
特征方程：r²－2r－8=0， 其根为： r₁＝－2、r₂＝4
通解为：y=C₁e^(－2x)+C₂e^(4x)
（2）y"+y'-2y=0
特征方程：r² + r－2=0， 其根为： r₁＝－2、r₂＝1
通解为：y=C₁e^(－2x)+C₂e^(x)
（3）y"-5y'+6y=0
特征方程：r² － 5r + 6=0， 其根为： r₁＝2、r₂＝3
通解为：y=C₁e^(2x)+C₂e^(3x)