多元微分学 第17题答案中“两边求微分”的方法是怎么做的？

Question

图2是我自己做的，我只会先对x与y求偏导数后再加上dx与dy，但是求解起来实在太麻烦。答案中求微分是什么意思呢？运算方法又是什么样的呢？麻烦详细说一说，谢谢

Answer 1

楼主你好，感谢你的提问。全微分法是解决隐函数求导的一个重要方法，下图是用全微分法求的详细步骤，与你的结果是一致的。不懂继续问，满意请采纳。

追问

您好，感谢您的回答。我不明白的是汤家凤答案里他的微分方法，只一步就解出来了，看着很简单。而通过先求偏导数再加dx的办法明显很麻烦。

追答

我写的全微分步骤每一步都很清楚了，汤老师他省掉了一些步骤。比如d√x^2+y^2+z^2其实是利用复合函数f(u)=√u,u=x^2+y^2+z^2和全微分形式不变性df(u)=f'(u)du得到的，这跟复合函数求导一样没有区别，当你对复合函数求导很熟悉了，可以不用写出中间变量直接一层层写出来。如果你对微分d也那么熟悉的话，我相信你也可以一步得到书上的结果。

Answer 2

你的没有问题的，两边是说等号的两边。
求微分就是求全微分，也就是分别求x,y,z的偏导
（有几个变量就求几个偏导，对谁求偏导，其他的变量看作常量）
对x求偏导：

yz+x/√（x^2+y^2+z^2）
同理: y,z
然后加起来。
因为这里是全微分，所以，∂x,∂y,∂z必须改为dx，dy，dz
如答案所示！追问

您好，感谢您的回答。我不明白的是汤家凤答案里他的微分方法，只一步就解出来了，看着很简单。而通过先求偏导数再加dx的办法明显很麻烦。

Answer 3

其实都是 ： 对 x 的偏导数乘以 dx， 加上对 y 的偏导数乘以 dy，
加上对 z 的偏导数乘以 dz， 书上将中间过程省略未写而已。
求偏导时 方法之一是将 z 视为 x，y 的函数，求偏导数。
方法之二是将x，y， z 均视为自变量，然后 ∂z/∂x = - Fx/Fz, ∂z/∂y = - Fy/Fz
你用的方法之一，书上用的方法之二。追问

您好，感谢您的回答，能讲一下方法的解题过程吗？谢谢

Answer 4

这个实际上是利用了一阶微分形式的不变性。

网页链接

Answer 5

如图所示

追问

您好，感谢您的回答。我不明白的是汤家凤答案里他的微分方法，只一步就解出来了，看着很简单。而通过先求偏导数再加dx的办法明显很麻烦。

追答

只是省略了过程而已，二种方法中选一种，F(x,y，z)法和两边直接求
请采纳一下

追问

您好，您的方法我没看懂，为什么Fx=yz+根号(x^2+y^2+z^2)分之x呢？
分子上不应该是根号下面的全部对x求偏导数吗？应该是2x+2z✖️对z的偏导数呀？
麻烦再讲一讲吧，谢谢。