1、令x=tant，t从0到pi/4，dx=sec^2t，原积分化为（从0到pi/4）ln[(sint+cost)/cost]dt=积分（从0到pi/4）[ln(根号2 *sin(t+pi/4))-lncost]dt（sin(t+pi/4)的积分做变量替换t+pi/4=x）=pi/4*ln(根号2)+积分（从pi/4到pi/2）sintdt-积分（从0到pi.4）lncostdt=pi/8 *ln2（第一个积分做变量替换t=pi/2-x，化简后=第二个积分）.
2、设极值点为x，则f'(x)=0，于是f(0)=f(x)+0.5f''(a)(x)^2，f(1)=f(x)+0.5f"(b)(1-x)^2，两式取绝对值相加得|f(0)|+|f(1)|<1/2+0.5[|f''(a)|x^2+f''(b)(1-x)^2]<=1/2+0.5(x^2+(1-x)^2)<=1。最后一个不等式是因为二次函数x^2+(1-x)^2的最大值是1.
3、用f(y)=根号（y）在区间【x x+1】用微分中值定理即得存在性。关于大小估计只需从等式中解出theta（x）进行估计即可。
4、a>1/2时，得af/ax(0 0)=lim [f(x 0)-f(0 0)]/(x-0)=0，af/ay(0 0)=lim [f(0 y)-f(0 0)]/(y-0)=0。两个偏导数存在。要可微，必须f(x y)-f(0 0)-af/ax(0 0)x-af/ay(0 0)y=小o((x^2+y^2)^(1/2))，即必须有f(x y)=小o((x^2+y^2)^(1/2))，于是要求a-1/2>0，两个结论综合得a>1/2.
2、设极值点为x，则f'(x)=0，于是f(0)=f(x)+0.5f''(a)(x)^2，f(1)=f(x)+0.5f"(b)(1-x)^2，两式取绝对值相加得|f(0)|+|f(1)|<1/2+0.5[|f''(a)|x^2+f''(b)(1-x)^2]<=1/2+0.5(x^2+(1-x)^2)<=1。最后一个不等式是因为二次函数x^2+(1-x)^2的最大值是1.
3、用f(y)=根号（y）在区间【x x+1】用微分中值定理即得存在性。关于大小估计只需从等式中解出theta（x）进行估计即可。
4、a>1/2时，得af/ax(0 0)=lim [f(x 0)-f(0 0)]/(x-0)=0，af/ay(0 0)=lim [f(0 y)-f(0 0)]/(y-0)=0。两个偏导数存在。要可微，必须f(x y)-f(0 0)-af/ax(0 0)x-af/ay(0 0)y=小o((x^2+y^2)^(1/2))，即必须有f(x y)=小o((x^2+y^2)^(1/2))，于是要求a-1/2>0，两个结论综合得a>1/2.
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