首先要了解初等矩阵,初等矩阵即由单位矩阵经边一次初等变换得到的矩阵.
初等矩阵有三种
(1)把n阶矩阵I的第i行(列)和第j行(列)互换
(2把n阶单位矩阵I的第i行(列)乘以一个非0的常数k
(3)把n阶单位矩阵I的第j行(列)的k倍加到到i行(列)上.
对任意n阶矩阵A作一次行初等变换,就相当于在A的左边乘以一个与之相应的n阶初等矩阵,作一次列初等变换,相当于在A的右边乘以一个与之对应的n阶初等矩阵.反之,对矩阵A左(右)乘一个初等矩阵,就相当于对A作一个相应的行(列)初等变换.
对于一个可逆矩阵,由于它的秩等于n,因而一定可以经过一系列的行初等变换成单位矩阵.这个结果用初等矩阵表示出来就是存在一系列n阶初等矩阵P1,P2...Pm,使得
Pm*Pm-1*...*P2*P1*A=I
即A(-1)=Pm*Pm-1*...*P2*P1*I
也就是说,若将A经过一系列行初等变换化成一个单位矩阵,则它的逆矩阵就是这一系列行初等变换对应的一系列初等矩阵的连乘积.
当然,用列初等变换也同样可以,只是我们习惯上都用行初等变换.
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