若函数f（x）在[a，+∞）连续，且lim（x-->+∞）f（x）=b，求证一致连续

Question

若函数f（x）在[a，+∞）连续，且lim（x-->+∞）f（x）=b,z 则函数f（x）在[a，+∞）上一致连续

Answer 1

因为lim(x->+∞)f(x)=b
所以对任意e>0，存在一个只与e有关与x无关的实数D>0，使得对任意[a,+∞)上的x>D，有|f(x)-b|<e
我们分两个区间来考虑：
①[a,D]
根据定理：有界闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必在[a,b]上一致连续
立即得到f(x)在[a,D]上一致连续
②(D,+∞)
对任意(D,+∞)上的x1,x2
|f(x1)-f(x2)|=|[f(x1)-b]-[f(x2)-b]|
<=|f(x1)-b|+|f(x2)-b|
<e+e
=2e
所以对任意f=2e>0，存在一个只与f有关与x无关的实数D>0，使得对任意(D,+∞)上的x1,x2，有|f(x1)-f(x2)|<f
所以f(x)在(D,+∞)上一致连续
综上所述，f(x)在[a,+∞)上一致连续

Answer 2

对于任意的epsilon，存在M使得当x>M时，|f(x)-b|<epsilon/2,于是|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon 对于任意的x_1,x_2>M.而当f(x)在有界闭区间[a,M+1]已经是一致连续的。于是存在delta_2<1使得|x_1-x_2|<delta_2时，|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon
对于任意的|x_1-x_2|<delta_2,或者他们都在区间[M,+infty）里面，或者他们都在区间[a,M+1]里面，根据上面的讨论可以得出|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon
于是f(x)一致连续~~~~~~~~YOHOOO~~