已知数列{an}的前N项和为Sn,a1=1.nan+1=(n+2)Sn

Question

nan+1的n+1是下角标哈。

求证数列{Sn/n}为等比数列
求an的通项公式及前N项和Sn

谢谢

Answer 1

解;由nan+1=(n+2)Sn，则
(n-1)an=(n+1)S(n-1)
相减，
nan+1/(n+2)-(n-1)an/(n+1)=an
即
nan+1/(n+2)=2nan/(n+1)
则，
an+1/an=2(n+2)/(n+1)
则，
(Sn/n)/(Sn/(n-1))=(an+1/(n+2))/(an/(n+1))
=(n+1)/(n+2)*2(n+2)/(n+1)
=2
则{Sn/n}为等比数列

Sn/n=(1-2^n)/(1-2)=2^n-1
则，Sn=n(2^n-1)
则S(n-1)=(n-1)(2^(n-1)-1)
相减，
an=n(2^n-1)-（n-1)(2^(n-1)-1)
得an=(n+1)*2^(n-1)+1

Answer 2

na(n+1)=(n+2)Sn，而a(n+1)=S(n+1)-Sn
所以n[S(n+1)-Sn]=(n+2)Sn，整理，得：nS(n+1)=2(n+1)Sn
所以S(n+1)/(n+1)=2Sn/n，即[S(n+1)/(n+1)]/(Sn/n)=2，为常数
而S1=a1=1，S1/1=1，所以数列{Sn/n}是以1为首项、2为公比的等比数列
于是Sn/n=1×2^(n-1)=2^(n-1)，所以Sn=n×2^(n-1) (n∈N+)
当n≥2时，S(n-1)=(n-1)×2^(n-2)
所以an=Sn-S(n-1)=n×2^(n-1)-(n-1)×2^(n-2)=(n+1)×2^(n-2)
而当n=1时，a1=2×2^(-1)=1，满足此式，所以an=(n+1)×2^(n-2) (n∈N+)本回答被提问者和网友采纳