数学。大一极限题

Question

写出解答过程，每一步骤后面写上为什么这么算

Answer 1

（1）
当x趋于0时，(1+x)^a~1+ax，e^x-1~x，sinx~x
所以原式=lim [(1/2)xsinx]/(x²)（将分子的根号看做1/2次方，然后利用第一个等价式，分母用第二个）
=lim (x²)/(2x²)（利用第三个等价）
=1/2

（2）
x趋于无穷时，1/x趋于0
所以e^(1/x)趋于e^0=1
所以 lim e^(1/x)-1=1-1=0

Answer 2

(1)。x→0lim[√(1+xsinx)-1]/(e^x²-1)(0/0型，用洛比达法则)
解：原式=x→0lim[(sinx+xcosx)/2√(1+xsinx)]/(2xe^x²)
=x→0lim(sinx+xcosx)/[4x(e^x²)√(1+xsinx)](用x替代sinx)
=x→0lim(x+xcosx)/[4x(e^x²)√(1+x²)](消去使分子分母同为0的因子x)
=x→0lim(1+cosx)/[4(e^x²)√(1+x²)]=2/4=1/2.
(2)。x→∞lim[e^(1/x)-1]
解：原式=0

Answer 3

应用罗必塔发展求解就可以了